作者の数学についてのノート(備忘録)です。

数学ノート

HOME → 中学数学 → 立体図形
前へ
次へ

リスト

柱体

錐体

直線と角

まとめ

新着情報

2019-09-17
立体図形
2019-08-07
平面と直線の位置関係
2019-08-03
図形の移動
2019-08-01
線と角
2019-06-22
おうぎ形の面積・弧の長さ
2019-06-05
基本の作図2
2019-06-03
基本の作図1
2019-06-03
円について
2019-05-22
コンテンツ作成中につき随時更新予定。

柱体

柱体とは合同で平行な2つの平面図形を底面として持つ筒状の空間図形のことです。

  • 三角柱・四角柱

    図の2つの図形は三角柱と四角柱です。このような図形をまとめて角柱といいます。

    角柱の体積は$(底面積)\times(高さ)$で求められます。

    また表面積は展開図を書いて求めるのが一般的です。

三角柱

四角柱

  • また表面積は展開図を書いて求めるのが一般的です。

表面積

錐体

  • 円錐・角錐

    図の2つの図形は円錐と角錐です。このような図形をまとめて錐体といいます。

    錐体の体積は$\frac{1}{3}\times(底面積)\times(高さ)$で求められる。

錐体

円錐

  • また表面積は展開図を書いて求めるのが一般的である。 円錐の展開図はおうぎ形と円になる。表面積はおうぎ形の面積と円の面積の和となる。

円錐表面積

(錐体の体積の証明はこちら)

  • 一般的にボールの形をしているものを数学では球といいます。球は中心の一点から同じ距離にある点の集まりのことです。

    球の体積$V$は次の式で表せる。

    $V = \frac{4}{3}\pi(半径)^{3}$

    また、球の表面積$S$で表せる

    $S = 4\pi(半径)^{2}$

    球の体積と表面積の公式の証明は、高校で学ぶ積分の知識が必要になるので今回は飛ばします。(証明はこちら)

球

  • よって$AA_{o} = A'A_{o}$、$BB_{o} = B'B_{o}$、$CC_{o} = C'C_{o}$となる。

対称移動

直線と角

  • 対頂角

    2直線が点Gで交わっているとき、角が4つ集まっているように見ることができる。このとき向かい合っている角(緑の角)をそれぞれ対頂角という。対頂角は角度が等しくなる。

    $\angle CGH = \angle DGF$

    $\angle CGF = \angle DGH$

  • 同位角・錯角

    平行な2直線があるときに交わるように直線を1本引く。このとき点H、Gの部分に右上、左上、右下、左下の4つの角ができる。このとき赤い角を同位角といい、$\angle BHG$と$\angle CGH$の関係を錯角といいます。この同位角、錯角の関係にある角はそれぞれ等しくなります。

    $\angle BHG = \angle DGF$ (同位角)

    $\angle BHG = \angle CGH$ (錯角)

直線と角

対頂角の証明

$\angle CGD = \angle DGF$の証明を考える。

$\angle CGH + \angle CGF = 180^{\circ}$

$\angle DGF + \angle CGF = 180^{\circ}$

上記の2式から$\angle CGD = \angle DGF$が導ける。

この対頂角と錯角の性質を用いて同位角が等しいことが証明できる。

まとめ

立体図形は組み合わせることによってさまざまな体積、表面積を求める問題になったり、また直線と角の関係は様々な問題を解く際に必要になる要素です。なのでこの範囲はしっかり覚え解くようにしましょう。

また錐体の体積を求める際に$\frac{1}{3}$が出てくる等の証明は高校で学習する積分の知識が必要なので今のうちは深く考えないようにしておきましょう。(証明はこちら)

また球の表面積と体積の証明も積分が必要になってきます。積分の回転体の体積を求める方法で証明することができます。(証明はこちら)

ページのトップへ戻る