作者の数学についてのノート(備忘録)です。

数学ノート

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導入 おうぎ形とは

おうぎ形の面積の求め方1

おうぎ形の面積の求め方2

まとめ

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コンテンツ作成中につき随時更新予定。

導入 おうぎ形とは

今回はおうぎ形についてです。おうぎ形とはその名前のとおり、扇(おうぎ)を広げた形に似ていることから「おうぎ形」と呼ばれています。おうぎ形は中学数学の作図のときに初めて出てくる図形で、コンパスを用いることで簡単に作図することができます。コンパスを使わなくても円の中心から円周上の2点ににむかって直線をそれぞれ引くことで描くことができます。今回はこのおうぎ形の面積の求め方を2通りの方法で考えてみましょう。

おうぎ形の面積の求め方1

おうぎ形ABCが存在する時に扇形の面積をSとすると、この面積Sを求める公式は次の(1)式のようになります。

$S = \frac{1}{2}\bigl(半径AB\bigl)\bigl(弧BC\bigl)\tag{1}$

この時の比較として三角形DEFも置いておきます。三角形の面積を求める公式はもちろん $\frac{1}{2}\bigl($底辺$\bigl)\bigl($高さ$\bigl)$ となります。

おうぎ形と三角形1

1つ目の面積の求め方はおうぎ形を分割していくことによって求める。まずおうぎ形を5等分してみる。

その後5等分した小さくなったおうぎ形を半分に分割する。この時点で最初のおうぎ形を10等分した状態になる。

これを一直線上に並べると図のようになる。

このとき右から5つのおうぎ形を赤色に、左から5つのおうぎ形を青色で示す。

おうぎ形と三角形2

この10等分したおうぎ形をさらに分割するほど弧の部分は短くなっています。

弧の長さが短くなっていくにつれて、もともと弧だった部分は直線に近づいているように見えます。これを直線とみなすと、このおうぎ形は二等辺三角形とみなすことができます。

ここで赤色の三角形を上下反転させ、青色の三角形に合わせると平行四辺形のように見えます。これよりおうぎ形の面積は図の平行四辺形の面積と同じとみなすことができます。

これより、おうぎ形の面積は(1)式で求めることができます。

おうぎ形と三角形3

おうぎ形の面積の求め方2

もう一つのおうぎ形の面積の求め方は円の面積を求めてから、そこから中心角を用いておうぎ形を求める方法です。

まずは簡単におうぎ形の中心角が $60^{\circ}$ の場合を考えます。

この方法はおうぎ形の中心角の大きさがわかっている場合に用いることができます。

おうぎ形はコンパスを用いて簡単に作図ができると導入で説明しました。そこでおうぎ形と円の関係性を用いておうぎ形の面積を求めます。

$60^{\circ}$ という角度は一周 $360^{\circ}$ の $\frac{1}{6}$ になります。これは $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ から求めることができます。

ということは角度が $\frac{1}{6}$ ということは扇形の面積は円の面積の $\frac{1}{6}$ となります。また同様に1つの弧の長さは円周の $\frac{1}{6}$ となります。

これを用いておうぎ形の面積を求めます

おうぎ形と三角形3

まず円の面積を求めます。円の面積 $C$ は(2)式を用いて表せます。

$C = {\pi}r^{2}\tag{2}$

また求めるおうぎ形の中心角の大きさを $\alpha^{\circ}$ とすると求めるおうぎ形の面積 $S$ は(3)式で表せます。

$S = \frac{\alpha}{360} \times {\pi}r^{2}\tag{3}$

ちなみに扇形の弧の長さ $l$ は式(4)で表せます。

$l = \frac{\alpha}{360} \times 2{\pi}r\tag{4}$

おうぎ形と三角形4

まとめ

今回はおうぎ形の面積を小さいおうぎ形に分割して求める方法と、円の面積から求める方法の2通りで示しました。これは状況に応じて使い分けることが必要なのでしっかり覚えておきましょう。またこの細かく分割しておうぎ形を細かく分割することによって三角形として考えるような考え方はこれから随所に登場する考え方の一部になりますので考え方だけでも覚えておきましょう。

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