作者の数学についてのノート(備忘録)です。

数学ノート

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導入

角の二等分線の作図

垂線の作図を思い出してみよう

垂線と角の二等分線の作図

まとめ

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コンテンツ作成中につき随時更新予定。

導入

前回に引き続き作図についてです。今回扱うのは角の二等分線です。多くの人は垂線より難しいという印象を持つと思いますが、難しくはありません。角の二等分線は前回の垂線の作図ととても似ているところがあるからです。それではさっそく角の二等分線を作図してみましょう。

角の二等分線の作図

まずは角の二等分線の作図方法を示したいと思います。これも二種類ほど作図方法がありますが、そのうち一つを例に取り上げたいと思います。

今回作図するのは角Oの二等分線の作図をします。

1.今回二等分線を作図する角、点Oにコンパスを刺し、任意の大きさをとり2つの辺に交わるようにコンパスで線を引く。引いた線と2つの直線が交わった点を点A、点Bとする。

角の二等分線の作図1

2.点A、点Bそれぞれの点から同じ距離かつ、線同士が交わるようにコンパスで線を引く。その交点を点Cとする。

角の二等分線の作図2

3.点Oと点Cを結び線を引く。この線が角Oの二等分線になる。

角の二等分線の作図3

垂線の作図を思い出してみよう

これで角の二等分線の作図ができました。ここで前回やった垂線の作図を思い出してみましょう。

今回描いた角の二等分線とどこか似ているところはありませんか?

垂線の作図B-3

似ているところが見つからない人にヒントとして、角Oの角度を広げた場合の図も用意したので見てください。

これはさっき作図した角度と同じ図形です。この角Oを少し広げていきます。

角の二等分線の作図B1

さっきより広げてみました。そしたら角Oが180度になるまで広げてみましょう。

角の二等分線の作図B2

180$^\circ$まで広げてみました。さあどうでしょうか。これと前回描いた作図と見比べてみてください。

角の二等分線の作図B3

上向きか下向きかは置いといてコンパスで引いた線は同じような形をしていますね。これに気づければOKです。

垂線と角の二等分線の作図

ここで垂線の作図をもう一度考えてみます。今回考える作図は「直線ABに垂直で、その中点Oを通る垂線を作図する」という問題です。

これは前回の垂線の描き方の2つめの描き方(角の二等分線版)を使って描くことができます。

最初に点Oに針を刺し、半円を描く。このとき垂線を作図するという目的のもと作図する場合は、半円の大きさは任意で構わない。今回は直線ABの中点が点Oということ、また説明の都合上、半円の半径をOAと同じ大きさにしている。

これ以降の作業は今までの垂線の作図と同じです。

垂線の作図

ここで中点Oを少し垂線に沿って下に移動させてみましょう。移動すると直線OAやOBはどうなるでしょうか?また移動した点を基準にコンパスを使って同様に曲線を作図するとどうなるでしょうか?

点Oが下に移動した点を点O’、点O’’とする。

垂線と角の二等分線

赤い線、青い線はそれぞれどう見えますか?

赤い線は$\angle$AO'Bの二等分線の作図問題に、青い線は$\angle$AO''Bの二等分線の作図問題に見えませんか?

次は逆に黒い線に注目してみてください。

これは角度が180$^\circ$の$\angle$AOBの二等分線の作図問題に見えませんか?

まとめ

角の二等分線は垂線の応用のような捉え方でOKです。

これにて基本的な作図は以上になります。

実は中学生で習う作図はもう一つあって60$^\circ$の角の作図というものがあります。これは今回は扱いませんが正三角形、正六角形等の正多角形や30$^\circ$等の大きさの角を作図する際によく使うので是非覚えておいてください。

作図は基本的に前回今回紹介した作図方法の組み合わせで描くことができます。作図問題を解くときに限ったものではありませんが落ち着いて問題を読んで解きましょう。

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