作者の数学についてのノート(備忘録)です。

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球の体積・表面積の公式

球の体積公式の証明

球の表面積公式の証明(1)

球の表面積公式の証明(2)

まとめ

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球の体積・表面積の公式

半径$r$の球の体積$V$は$V = \frac{4}{3}\pi r^3$、球の表面積$S$は$S = 4\pi r^2$でしたよね。この公式を学習したときには呪文のように暗記したと思います。今日はこの公式が本当に正しいか証明していきたいと思います。

球の体積公式の証明

$xy$平面上で原点を中心とした半径$r$の半円を考える。この半円を$x$軸で回転させた回転体の球の体積を求める。

このとき半円の式($x$軸より上の部分、$y \geq 0$の部分)は$y = \sqrt{r^2 - x^2}$で表せる。

この半円の式を$-r$から$r$の範囲で積分する。

$ \begin{align} V &= \int_{-r}^r \pi (\sqrt{r^2 - x^2}) dx &= 2\pi \int_0^r (r^2 - x^2) dx &= 2\pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right] &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align} $

従って、球の体積$V$は$V = \frac{4}{3}\pi r^3$で表せる。

球の体積

球の表面積公式の証明(1)

この証明は球の表面積を積分によって直接求める方法です。

図のような角度が$\theta$から$\theta + \Delta \theta$の青い部分の表面積を考える。

この図形を上から見ると円形になっている。この円形の図形の半径は$r cos \theta$となる。このとき円周の長さは$2 \pi r cos \theta$となる。従って、青の部分の幅は$r \Delta \theta$であるから、表面積は$2\pi r^2 cos \theta d\theta$となる。

次に、$\Delta \theta \to 0$の極限を考える。

$ \begin{align} S &= \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi r^2 cos \theta d \theta &= 4\pi r^2 \end{align} $

球の表面積1

球の表面積2

球の表面積公式の証明(2)

次に球の体積の公式を用いた方法を示します。球の体積を$r$で微分したものが球の表面積になることを利用して証明します。

半径$t$の球の表面積を$S(t)$と書きます。また半径$r$の球を薄い球殻を寄せ集めたものとみなして体積を求める。

三次元空間において原点からの距離からが$t$以上$t + \Delta t$以下の間にある部分を考える(このような図形を球殻という)。

$\Delta t$が十分小さいとき、この球殻の体積は$S(t) \Delta t$とみなすことができる。

このような球殻を$t=0$から$t=r$まで寄せ集めたものが半径$r$の球であり、体積は$\frac{4}{3}\pi r^3$となる。従って、$\Delta t \to 0$の極限では次の式のようになる。

$\int _0^r S(t) dt = \frac{4}{3}\pi r^3$

この両辺を$r$で微分すると$S(r) = 4\pi r^2$となる。

球の表面積3

まとめ

今回は球の表面積の証明、体積の証明を2通りで示しました。積分の知識が必要な証明もありますが、頭の片隅にでも入れておくといいと思います。また半円の回転体から球の体積を求める証明法は、積分の問題として取り上げられることもあるので一度自力で証明を解いてみるのもいいと思います。

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