作者の数学についてのノート(備忘録)です。

数学ノート

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錐体の体積の公式

特別な錐体の体積の証明

積分を用いた証明

まとめ

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コンテンツ作成中につき随時更新予定。

錐体の体積の公式

錐体(円錐、角錐)の体積は、底面積が$S$、高さが$h$の錐体の体積$V$は以下の式で表します。

$V = \frac{1}{3}Sh$

この公式を学習したときに$\frac{1}{3}$になる理由は知らなかったと思います。これは特殊な四角錐の場合には比を用いて簡単に証明することができますが、それ以外の錐体の体積の証明には積分の知識が必要なので暗黙の了解でこの公式を用いてました。

今回はこの錐体の体積を求める公式の証明を示します。

特別な錐体の体積の証明

まず積分の知識が必要ない錐体の証明を示します。

証明

図のような一辺の長さが2hの立方体の体積を用います。この立方体の中心Oを頂点としてできる四角錐OABCDの体積を求める際には、積分は用いないで証明することができます。

この四角錐の底面積$S_{A}$は$4h^{2}$で表すことができる。またこの立方体の体積$V_{A}$は$8h^{3}$で表すことができる。

この立方体は四角錐OABCDと同じ錐体が6つと同じ体積です。このことから次の式が導ける。

$V_{A} = 8h^{3} = \frac{1}{3}Sh$

次に高さが同じ$h$、底面積が$S_{B}$の錐体Bの体積$V_{B}$を考える。

錐体の高さが同じなので錐体$V_{A}$と$V_{B}$の体積比は底面積$S_{A}$と$S_{B}$の比となる。

したがって錐体Bの体積は次のようになる。

$V_{B} = \displaystyle \frac{1}{3}S_{A}h \times \frac{S_{B}}{S_{A}} = \frac{1}{3}S_{B}h$

特別な錐体

積分を用いた証明

この積分を用いた証明は底面積の形によらず(円錐、三角錐等)に証明することができる方法です。

証明

錐体ABCDEの底面積を$S$、頂点からの距離が$t$の部分で錐体を切ったときの断面積を$S_{t}$で表す。

今回は$\Delta t$が十分小さいときの体積と求める錐体の体積$V$を相似比の関係から求めることで証明する。

$\Delta t$が十分小さいとき頂点からの距離が$t$から$\Delta t$の間にある部分の体積は$S(t)\Delta t$とみなせる。このことから次の式のように表せる。

$V = \int_0^h S(t) dx$

また相似な図形の面積比は相似比の二乗に比例することから、

$t^{2}:h^{2} = S(t):S$

したがって$S(t) = \frac{t^2}{h^2}S$

$ \begin{align} V &= \displaystyle \int_{0}^{h} S(t) dx \\\\ &= \displaystyle \int_{ 0 }^{ h } \frac{t^2}{h^2} S dx \\\\ &= \frac{S}{h^2} \left[ - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{h} \\\\ &= \frac{S}{h^2} \frac{h^3}{3} \\\\ &= \frac{1}{3}Sh \end{align} $

錐体の体積

まとめ

今回は錐体の体積の証明をしました。これらは高校数学2の積分の基礎的な内容で解くことができる証明の一つです。練習問題として自分で解いてみるのも良いと思います。

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